Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=2x³-6x²+3x+2+2013sin（x-1），则g（-2011）+g（-2010）+…+g（2012）+g（2013）的值为

4025

．

Answer 1

分析：令f（x）=2x³-6x²+3x+2，研究其对称中心，h（x）=2013sin（x-1），研究其奇偶性，即可得出．

解答：解：令f（x）=2x³-6x²+3x+2，
则f′（x）=6x²-12x+3，f^″（x）=12x-12，
令f^″（x）=0，解得x=1，
∴x=1是函数f（x）的拐点，既是其对称中心．
∴f（-2011）+f（2013）=2f（1）=f（-2010）+f（2012）=…=f（0）+f（2），
∴f（-2011）+f（-2010）+…+f（2012）+f（2013）=4025f（1）=4025．
令h（x）=2013sin（x-1），
则h（-2011）+h（-2010）+…+h（2012）+h（2013）=2013[sin（-2012）+sin（-2011）+…+sin2011+sin2012]=0，
∴g（-2011）+g（-2010）+…+g（2012）+g（2013）
=f（-2011）+f（-2010）+…+f（2012）+f（2013）+h（-2011）+h（-2010）+…+h（2012）+f（2013）
=4025+0=4025．
故答案：4025．

点评：本题考查了三次函数的对称性、正弦函数的奇偶性，属于难题．