Question

已知，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1，，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为，f（2）=1，
所以=1，解得 a=2． …（2分）
（Ⅱ）在{a_n}中，因为a₁=1，．
所以，，，
所以猜想{a_n}的通项公式为．…（6分）
（Ⅲ）证明：因为a₁=1，，
所以，即．
所以是以为首项，公差为的等差数列．
所以，所以通项公式．…（9分）
分析：（Ⅰ）因为，f（2）=1，可得=1，由此解得a的值．
（Ⅱ）根据在{a_n}中，a₁=1，，令n=1、2、3，即可求得a₂，a₃，a₄的值，由此猜想通项公式a_n．
（Ⅲ）由题意可得，即，根据等差数列的通项公式求出的通项公式，即可得到{a_n}的通项公式．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，不完全归纳法的应用，用综合法证明等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．