Question

已知函数满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*．求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）定义对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，令设S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＞ln（n+1）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知2a+b=2．当△=（b-1）²=0时，b=1，，；当△=（b-1）²≠0时，a=1，f（x）=1（x≠0）．
（Ⅱ）由题意知当f（x）=1时，a_n+1=1，不合题意，所以，，∴，由此可得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由题设条件知，，所以，，再用分析法证明S_n＞ln（n+1）．
解答：解：（Ⅰ）由，得2a+b=2；
又，有且仅有一个解，
即ax²+（b-1）x=0，有唯一解满足ax+b≠0．
∵a≠0，∴当△=（b-1）²=0时，b=1，x=0，则，此时，
又当△=（b-1）²≠0时，，因为ax₁+b=1≠0，
所以ax₂+b=b=0，则a=1，此时
综上所述，，或者f（x）=1（x≠0）；

（Ⅱ）a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*，当f（x）=1时，a_n+1=1，不合题意，
则，，
∴，
则，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴，则，所以
设数列{c_n}的前n项和为T_n=ln（n+1），则c₁=T₁=ln2＜lne=1
当n≥2时，，要证明
令，只要证明：lnt＜t-1，其中t＞1．
令g（x）=x-1-lnx（x≥1），则，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，
则当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即x-1＞lnx（x＞1），所以，
则．
点评：也可用数学归纳法证明，为此，先证明，即证：lnt＜t-1，其中t＞1．