Question

已知a、b、c为实数，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0,b＞0,c＞0.

Answer 1

思路分析：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.于是考虑采用反证法.

假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形.但注意到条件的特点(任意交换a,b,c的位置不改变命题的条件)，我们只要讨论其中一个数(例如a)，其他两个数(例如b,c)与这种情形类似.

证明：假设a,b,c不全是正数，即其中至少有一个不是正数.不妨先设a≤0.下面分a=0和a＜0两种情况讨论.

如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能.

如果a＜0，那么由abc＞0可得

bc＜0.

又因为a+b+c＞0，所以b+c=-a＞0.

于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc＜0，

这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾.

因此，a＜0也不可能.

综上所述，a＞0.

同理可证b＞0,c＞0.

所以原命题成立.