Question

已知点P(0,5)及圆C：x²＋y²＋4x－12y＋24＝0
（I）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
（II）求过P点的圆C的弦的中点D的轨迹方程

Answer 1

（1）直线的方程为：或 （2） 

试题分析：（1）根据弦长和半径，可求出圆心到直线的距离为2 当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：即 由点到直线的距离公式即可求出k的值，从而得直线的方程 然后再考虑斜率不存在时的情况  （2）设过点P的圆C的弦的中点为，则 即 由此等式即可得中点D的轨迹方程 这属于利用等量关系求轨迹方程的问题  
试题解析：（1）如图所示，，设是线段的中点，则 
 点C的坐标为（－2，6） 在中，可得 
设所求直线的方程为：即 
由点到直线的距离公式得： 
此时直线的方程为：               4分
又直线的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为： 
所以所求直线的方程为： 或          6分
（2）设过点P的圆C的弦的中点为，则 即 
所以化简得所求轨迹的方程为：    12分