题目内容

若正实数a，b满足a+b=1，则

A.
$数学公式$ 有最大值4
B.
ab有最小值 $数学公式$
C.
$数学公式$ 有最大值 $数学公式$
D.
a²+b²有最小值 $数学公式$

C
分析：由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ≥4，故A不正确．
由基本不等式可得 a+b=1≥2 $\text{[math]}$ ，可得 ab≤ $\text{[math]}$ ，故B不正确．
由于 $\text{[math]}$ =1+2 $\text{[math]}$ ≤2，故 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故 C 正确．
由a²+b²=（a+b）²-2ab≥1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故D不正确．
解答：∵正实数a，b满足a+b=1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ≥2+2=4，故 $\text{[math]}$ 有最小值4，故A不正确．
由基本不等式可得 a+b=1≥2 $\text{[math]}$ ，∴ab≤ $\text{[math]}$ ，故ab有最大值 $\text{[math]}$ ，故B不正确．
由于 $\text{[math]}$ =a+b+2 $\text{[math]}$ =1+2 $\text{[math]}$ ≤2，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 有最大值为 $\text{[math]}$ ，故C正确．
∵a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab≥1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故a²+b²有最小值 $\text{[math]}$ ，故D不正确．
故选C．
点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．