Question

一个圆锥底面半径为R，高为

3

R，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．

Answer 1

分析：设出正四棱柱的底面对角线的一半为x，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据四棱柱的表面积公式做出表面积的表达式，根据二次函数的性质，得到结果．

解答：解：设正四棱柱的底面对角线的一半为x，
根据△PCB～△POA，
∴

x

R

=

PC

3R

，
∴PC=

3

x，
∴CO=

3

R-

3

x，
由正四棱柱的底面是一个正方形可知底面的边长是

2

x，
∴四棱柱的表面积S=4x2-4

6

x2+4

6

Rx
=（4-4

6

）x²+4

6

Rx，
根据二次函数的性质知
当内接正四棱柱的底面对角线一半的长是x=

6 R

2 6 -2

时
表面积S有最大值为

R2

4 6 -4

点评：本题考查四棱柱的表面积，考查三角形相似，考查列出函数式，考查二次函数的最值问题，本题考查的知识点比较多，是一个综合题目．