Question

已知直线l：y＝kx＋k＋1，抛物线C：y²＝4x，和定点M(1，1)．

(1)当直线经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上

(2)当k变化(k¹ 0)且直线l与抛物线C有公共点时，设点P(a，1)关于直线l的对称点为Q(x₀，y₀)，求x₀关于k的函数关系式x₀＝f(k)．并求P与M重合时，x₀的取值范围

Answer 1

答案：
解析：

由焦点F(1，0)在l上，得k＝－，∴l：y＝－x＋　　1分 　　设点N(m，n)，则有：，　　2分 　　解得，∴N(，－)．　　2分 　　∵≠(－)2，∴N点不在抛物线C上．　　2分 　　(2)把直线方程代入抛物线方程得：k2x2＋2(k2＋k－2)x＋(k＋1)2＝0， 　　∵相交，∴△＝4[(k＋2)(k－1)]2－4k2(k＋1)2＝6(－k2－k＋1)³ 0， 　　解得≤k≤且k≠0．　　2分 　　由对称得， 　　解得x0＝(≤k≤，且k≠0)．　　2分 　　当P与M重合时，a＝1， 　　∴f(k)＝x0＝＝－3＋(£ k£ ，且k≠0)， 　　∵函数x0＝f(k)(kÎ R)是偶函数，且k＞0时单调递减． 　　∴当k＝时，(x0)min＝，， 　　∴x0Î [，1)．　　3分