Question

根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）写出数列{x_n}的递推公式，求{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）写出数列{y_n}的递推公式，求{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{x_n+y_n}的前n项和S_n（n≤2013）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过程序框图可得到数列{x_n}构成一个首项为1公比为2的等比数列，从而可求出{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过程序框图可得到数列{y_n}是首项为2公差为1的等差数列，从而可求出{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）依题意，利用分组求和的方法即可求得数列{x_n+y_n}的前n项和S_n（n≤2013）．

解答：解：（Ⅰ）数列{x_n}的递推公式为x_n+1=2x_n，
∵

xn+1

xn

=2，
∴数列{x_n}构成一个首项为1公比为2的等比数列，
∴数列{x_n}的通项公式为xn=2n-1（n≤2013）；
（Ⅱ）数列{y_n}的递推公式为y_n+1=y_n+1，
证明：∵y_n+1-y_n=1，
∴{y_n}是首项为2公差为1的等差数列，
∴y_n=y₁+（n-1）×1=n+1，
即数列{y_n}的通项公式为y_n=n+1（n≤2013）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知xn+yn=2n-1+(n+1)，
∴Sn=(20+21+22+…+2n-1)+[2+3+4+…+(n+1)]
=

1×(1-2n)

1-2

+

n(n+3)

2

=2n-1+

n2+3n

2

（n≤2013）．

点评：本题考查程序框图与等差数列和等比数列求出通项公式，数列的求和，识图是关键，考查分析与运算、识图的能力，属于中档题．