Question

17．如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是线段AB的中点，CA=CB=CC₁=1，∠ACB=90°．
（1）证明：BC₁∥面A₁CD；
（2）求面A₁CD与面A₁C₁CA所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明：BC₁∥面A₁CD；
（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大小．

解答 解：（法一）（1）连结A₁C交AC₁于M，连结DM
又D，M分别是AB，AC₁的中点，故DM为△ABC₁的中位线
∴DM∥BC₁
又∵DM?面A₁CD，BC₁?面A₁CD∴BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz．…（5分）
∴$C（0，0，0），{A_1}（1，0，1），D（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$∴$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$
设平面A₁CD的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\\ \vec m•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow m=（1，-1，-1）$．…（8分）
依题意可知平面A₁CA的法向量：$\overrightarrow{{n_{\;}}}=\overrightarrow{CB}=（0，1，0）$…（10分）
则$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|\overrightarrow{{m_{\;}}}||\overrightarrow n}}=\frac{-1}{{1×\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴面A₁CD与面A₁C₁CA所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）
（法二）（1）如图，建立空间直角坐标系C-xyz．…（1分）
∴$C（0，0，0），{A_1}（1，0，1），D（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0），B（0，1，0），{C_1}（0，0，1）$
∴$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{B{C_1}}=（0，-1，1）$
设平面A₁CD的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\\ \vec m•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow m=（1，-1，-1）$．…（4分）
∴$\overrightarrow{B{C_1}}•\overrightarrow m=0×1+（-1）×（-1）+1×（-1）=0$∴$\overrightarrow{B{C_1}}⊥\overrightarrow m$
又∵BC₁?面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD…（8分）
（2）依题意可知平面A₁CA的一个法向量：$\overrightarrow{{n_{\;}}}=\overrightarrow{CB}=（0，1，0）$…（10分）
则$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|\overrightarrow{{m_{\;}}}||\overrightarrow n}}=\frac{-1}{{1×\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴面A₁CD与面A₁C₁CA所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）
（说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程不唯一）

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角或空间线面位置关系常用的方法．