Question

设函数f(x)=

x

a(x+2)

，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)=

2

2013

，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若an=

4

xn

-4023且bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

(n∈N*)，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，则ax²+（2a-1）x=0有唯一解，知 a=

1

2

，由此能求出f（x）的表达式；
（2）由f（x_n）=x_n+1，知

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

 (n∈N*)，由 等差数列的定义可求出数列{x_n}的通项公式；
（3）由bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

b₁+b₂+…+b_n-n＜1，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

解答：解：（1）由

x

a(x+2)

=x，可化简为ax（x+2）=x∴ax²+（2a-1）x=0
∴当且仅当a=

1

2

时，方程x=f（x）有唯一解．
从而f(x)=

2x

x+2

（2）由已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），得

2xn

xn+2

=xn+1
∴

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

 (n∈N*)
∴数列{

1

xn

}是以

1

x1

为首项，

1

2

为公差的等差数列．

1

xn

=

1

x1

+(n-1)×

1

2

=

(n-1)x1+2

2x1

，∴xn=

2x1

(n-1)x1+2

∵f(x1)=

2

2013

，
∴

2x1

x1+2

=

2

2013

，即x1=

1

1006

∴xn=

2× 1 1006

(n-1)× 1 1006 +2

=

2

n+2011

故x2011=

2

2011+2011

=

1

2011

（3）证明：∵xn=

2

n+2011

，
∴an=4×

n+2011

2

-4023=2n-1∴bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴b1+b2+bn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)++(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n=1-

1

2n+1

＜1
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用，属于中档题．