题目内容

设函数 $数学公式$ ，其中向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当 $数学公式$ 时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）函数 $\text{[math]}$ =2cos²x+ $\text{[math]}$ =cos2x+ $\text{[math]}$ +1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+m+1．
故函数f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
故在[0，π]上的单调递增区间为[0， $\text{[math]}$ ]、[ $\text{[math]}$ ，π]．
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得 m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故实数m的取值范围为（-6，1）．
分析：（Ⅰ）滑进函数f（x）的解析式为 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+m+1，由此求得周期，令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出函数的单调增区间，即可得到在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得 m+2＞-4且 m+3＜4，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．