题目内容
【题目】已知定点
，
，动点P为平面上一个动点，且直线SP，TP的斜率之积为
.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在斜率为
直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且
恰是
的重心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，详见解析
【解析】
（1）设
，由
结合两点间斜率计算公式，整理化简即可；
（2）根据题意，设直线
的方程为
，
，联立直线和椭圆的方程构成方程组，将韦达定理和
相结合，求出
的值，但不满足
，进而可得出结果.
（1）设，由已知有
，
整理得动点Ｐ的轨迹Ｅ的方程为
（2）由（1）知，
的方程为，所以
设存在直线适合题意，并设的方程为，.
由
，得
，
由
，得
，
.
因为点
为
的重心，所以，
，解得
当时，不满足，
所以不存在直线，使得是的重心.
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