Question

已知二元函数f（x，y）满足下列关系：
①f（x，x）=x
②f（kx，ky）=kf（x，y）（k为非零常数）
③f（x₁，y₁）+f（x₂，y₂）=f（x₁+x₂，y₁+y₂）
④f(x，y)=f(y，

2x+y

3

)
则f（x，y）关于x，y的解析式为f（x，y）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中二元函数f（x，y）满足下列关系：①f（x，x）=x，②f（kx，ky）=kf（x，y）（k为非零常数），③f（x₁，y₁）+f（x₂，y₂）=f（x₁+x₂，y₁+y₂），④f(x，y)=f(y，

2x+y

3

)，我们可以设f（1，0）=a，f（0，1）=b，由③得：f（x，y）=ax+by，由②、④构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可求出f（x，y）关于x，y的解析式．

解答：解：设f（1，0）=a，f（0，1）=b，
则f（x，y）=f（x，0）+f（0，y）=ax+by；
f（1，1）=1得a+b=1；
f(x，y)=f(y，

2x+y

3

)得f（1，0）=f（0，

2

3

），即a=

2b

3

，故a=

2

5

，b=

3

5

．
所以f（x，y）=

2

5

x+

3

5

y．
故答案为：

2

5

x+

3

5

y

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知条件设f（1，0）=a，f（0，1）=b，并构造关于a，b的方程组，是解答本题的关键．