Question

设各项都是正数的数列{a_n}满足：对于任意的自然数n，都有．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，试求数列{b_n}的最大项；
（Ⅲ）令c₁=3，c_n=3a_n-1（n≥2），，是否存在自然数c，k，使得成立？证明你的论断．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 类比于已知Sn求a_n，写出n+1时表达式，再两式相减，易得．
（Ⅱ）可求得，利用作差法判定单调性，求最大项
（Ⅲ） ，再求出Sn代入表达式，解关于c，k的不定方程，探讨解的情况．
解答：解：（1）由题意，知：．           ①
当n≥2时，．        ②
由①-②，知：当n≥2时，，即．    
当n=1时，log_0.5a₁=1，适合上式．
所以，数列{a_n}的通项公式是．         
（2）由（1）知：．
由，即．        
解得：7≤n≤8
因为n∈N^*，所以，n=7或8
（3）由题意，知：当n≥2时，．
又c₁=3适合上式，故数列{c_n}的通项公式为．     
所以，．                     
假设存在自然数c，k，使得成立．即．
所以，
所以，
即
所以，
因为c，k为自然数，所以，（6-c）•2^k比为整数，
所以，（6-c）•2^k=7，所以，，即k=0，c=-1，不合题意
所以，不存在自然数c，k，使得成立．
点评：本题考查等比数列定义、通项公式、求和，数列的单调性、不定方程的解．考查分析解决问题、计算、逻辑思维，分类讨论的思想方法和能力．