Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，两焦点之间的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 焦点在x轴上，

由题意可得2c=4， ．则a=4，c=2．

由b2=a2﹣c2=12，

∴椭圆标准方程为： ．

（2）证明：由（1）可得椭圆的右顶点为（4，0），

由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．…（7分）

由 ，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ．

∴ ，

则 =0，则 ⊥

故OA⊥OB．

【解析】（1）由题意可得2c=4， ．则a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，即可求得椭圆的标准方程；（2）过（4，0）的直线方程为：x=my+4，代入抛物线y2=4x，由韦达定理可知： ，则 =x1x2+y1y1=0，即可求证OA⊥OB．