Question

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点．
（1）指出几何体的主要特征（高及底的形状）；
（2）求证：PB∥平面AEC；
（3）若F为侧棱PA上的一点，且

PF

FA

=λ，则λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时直线EC与平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的俯视图我们可以判断该几何体的底面形状及几何特征，由正视图和侧视图，可以判断该几何体为正棱锥，及棱锥的高，综合后即可得到几何体的主要特征；
（2）设AC、BD的交点为O，连接OE，由三角形的中位线定理可得，OE∥PB，再由线面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEC；
（3）由（1）的结论，我们易判断棱锥的侧面，均为等腰三角形，令F为PA的靠近P点的四等分点，由勾股定理，易得PA⊥BF，PA⊥DF，由线面垂直的判定定理可得F满足条件，由F是中点，易得此时λ的值，并可利用余弦定理求出PA与EC夹角的余弦值，结合PA⊥平面BDF，即可得到直线EC与平面BDF所成角的正弦值．

解答：解：（1）由已知中俯视图可知该几何体为底面ABCD为菱形，且有一个角为60°，边长为2，
由正视图和侧视图可得：几何体为高度为PO=1的四棱锥
（2）设AC、BD的交点为O，连接OE
则OE为△DPB的中位线，OE∥PB，
又由OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC；
（3）连接OP，则OP⊥平面ABCD
由OP=1，底面ABCD为菱形，且有一个角为60°，边长为2，
则OD=1，AC=2

3

则PB=PD=

2

，PA=PC=2
易得侧面PAB和PAD均为等腰三角形
令FP=

1

2

，由勾股定理可得则PA⊥BF，PA⊥DF
又由BF∩DF=F
∴PA⊥平面BDF
此时

PF

FA

=λ=

1

3

此时PA与EC夹角的余弦值为-

5 14

28

又∵PA⊥平面BDF
∴直线EC与平面BDF所成角的正弦值为

5 14

28

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面的夹角，其中根据已知的三视图分析出该几何体的几何特征，是解答本题的关键．