题目内容

如图所示，若向量 $数学公式$ ₁、 $数学公式$ ₂是一组单位正交向量，则向量2 $数学公式$ + $数学公式$ 在平面直角坐标系中的坐标为

A.
（3，4）
B.
（2，4）
C.
（3，4）或（4，3）
D.
（4，2）或（2，4）

A
分析：以向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量 $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ）且 $\text{[math]}$ =（1，3），结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的坐标．
解答：

以向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
∵ $\text{[math]}$ ₁=（1，0）， $\text{[math]}$ ₂=（0，1）
∴2 $\text{[math]}$ =（2，1），得 $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ =（1，3），
∴2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2（1， $\text{[math]}$ ）+（1，3）=（3，4）
即2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）
故选：A
点评：本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题．

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已知点F（1，0），直线l：x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若

的夹角；
（3）如图所示，若点G满足

，且线段MG的垂直平分线经过点P，求△PGF的面积．

(本小题满分12分)
已知点F（1，0），直线,设动点P到直线的距离为,已知，且．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若，求向量的夹角；
（3）如图所示，若点G满足，点Ｍ满足，且线段ＭＧ的垂直平分线经过点P，求的面积

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为

,所以平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

（(本小题满分12分)

已知点F（1，0），直线,设动点P到直线的距离为,已知，且．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若，求向量的夹角；

（3）如图所示，若点G满足，点Ｍ满足，且线段ＭＧ的垂直平分线经过点P，求的面积．