Question

已知点F（1，0），直线l：x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=

2

2

d，且

2

3

≤d≤

3

2

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若

PF

•

OF

=

1

3

，求向量

OP

与

OF

的夹角；
（3）如图所示，若点G满足

GF

=2

FC

，点M满足

MP

=3

.

PF

，且线段MG的垂直平分线经过点P，求△PGF的面积．

Answer 1

分析：（1）利用两点的距离公式及点到直线的距离公式将已知几何条件用坐标表示，化简求出轨迹方程，注意求出定义域．
（2）求出三个向量的坐标，先利用向量的坐标形式数量积公式求出数量积，列出方程求出x，代入轨迹方程，求出点的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角．
（3）利用已知条件的向量关系求出G为左焦点，利用中垂线的性质及椭圆的定义列出方程组，求出三角形PGF的三边长，利用勾股定理判断出三角形的性质，利用三角形的面积公式去求出三角形的面积．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），则|PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
∴

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

化简得

x2

2

+y2=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

即动点p的轨迹方程为

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)
（2）∵

PF

=(1-x，-y)，

OF

=(1，0)，

OP

=(x，y)
∴

PF

•

OF

=1-x=

1

3

∴x=

2

3

，代入

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)得y=±

7

3

∴

OP

=(

2

3

，

7

3

)或(

2

3

，-

7

3

)∴cos＜

OP

，

OF

＞=

OP • OF

| OP || OF |

=

2 11

11

∴

OP

与

OF

的夹角为arccos

2 11

11

（3）由已知，得|

GF

|=2|

FG

|=2
∴G为左焦点
又∵

PG |= PM |=3 PF PG |+ PF |=2 2

∴

PF |= 2 2 PG |= 3 2 2

又∵|

GF

|=2
∴|

PF

|2+|

GF

|2=|

PG

|2，
∴△PGF为直角三角形．
∴S△PFG=

1

2

|

PF

||

GF

|=

2

2

点评：本题考查求向量的夹角需要考虑利用向量的数量积、考查求轨迹方程时，在化简方程时要注意同解变形，求出方程的定义域、考查解决焦点三角形问题常考虑利用圆锥曲线的定义．