Question

【题目】已知．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，判断函数的单调性；

（3）当时，若在处取得极大值，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极小值为 ，无极大值，（2）见解析（3）

【解析】

（1）求导得到函数单调区间，计算极值得到答案.

（2）求导得到，计算导函数的最大值为0，得到函数单调性.

（3）求导得到，再求导取导数为0得到，讨论和，三种情况，计算得到答案.

（1）的定义域为，当时，，则，

由得，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，故当时取得极小值为，无极大值.

（2）当时，，，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上调递增，在上单调递减，，

所以当时，，即，所以在上单调递减．

（3）由已知得，则，

记，则，，令，得．

①若，则，当时，，故函数在上单调递增，且当时，，即；

当时，，即，

又，所以在处取得极小值，不满足题意．

②若，则当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减，所以当时，，即，故在上单调递减，不满足题意．

③若，则，当时，，故在上单调递减，

且当时，，即；当时，，即，

又，所以在处取得极大值，满足题意．

综上，实数的取值范围是．