Question

函数f（x）=x²-2ax-1
（1）求f（x）在区间[0，2]上的最小值h（a）；
（2）画出函数y=h（a）的图象；
（3）写出h（a）的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由于函数f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a² 的对称轴为 x=a，分当a＜0时、当0≤a≤2时、当a＞2时，三种情况，分别利用二次函数的性质求得
函数在f（x）在区间[0，2]上的最小值h（a），综上可得结论．
（2）画出函数y=h（a）的图象如图所示．
（3）结合函数h（a）的图象，写出h（a）的最大值．

解答：解：（1）由于函数f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a² 的对称轴为 x=a，
当a＜0时，函数在f（x）在区间[0，2]上是增函数，故函数的最小值h（a）=f（0）=-1；
当0≤a≤2时，函数在f（x）在区间[0，2]上的最小值h（a）=f（a）=-a²-1；
当a＞2时，函数在f（x）在区间[0，2]上是减函数，故函数的最小值h（a）=f（2）=3-4a．
综上可得，h（a）=

-1   ， a＜0 -a2-1  ，0≤a≤2 3-4a ，a＞2

．
（2）画出函数y=h（a）的图象如图所示：
（3）结合函数h（a）的图象，知h（a）的最大值为-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．