Question

【题目】已知多面体如图所示.其中为矩形， 为等腰直角三角形， ，四边形为梯形，且， ， .

（1）若为线段的中点，求证： 平面.

（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值等于？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）因为， ，得平面，

得平面，以为原点， 分别为轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系求得平面的一个法向量，进而证得平面.

（2）由，求得平面的法向量，假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于，设，则， ，利用向量的运算可解得，即可得到结论。

试题解析：

（1）因为， ， ，故平面，

故平面，以为原点， 分别为轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ，所以，易知平面的一个法向量，所以，所以，又平面，所以平面.

（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值等于.理由如下：

直线与平面所成角的余弦值为，即直线与平面所成角的正弦值为，因为，设平面的法向量为，

由，得，取得平面的一个法向量

假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于，

设，则， ，

所以，

所以，解得或（舍去）

因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为.