Question

如图,l₁,l₂是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A,B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.

(1)证明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

(1)证明:由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN.

由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又AN为AC在平面ABN内的射影,

∴AC⊥NB.

(2)解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC.又已知∠ACB=60°,

∴△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心.连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH=.