Question

（2010•莆田模拟）如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（-

3

，0），离心率e=

3

2

，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点F到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（3）问在y轴上是否存在一个定点B，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由c=

3

，

c

a

=

3

2

，能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，由

y=kx-2 x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，由已知得

|- 3 k-2|

1+k2

=2，由此能求出直线l的方程．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x₂，y₂），所以直线PR的方程为y-y1=

y1-y2

x1+x2

(x-x1)，令x=0，得y=-

1

2

，所以存在y轴上定点B(0，-

1

2

)，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．

解答：解：（1）∵c=

3

，

c

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2 =1．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，
由

y=kx-2 x2+4y2=4

，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，①
∵△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．②
设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
由已知得，

|- 3 k-2|

1+k2

=2，解得k=0，或k=4

3

，
由②得，k=4

3

，
∴直线l的方程是y=4

3

x-2．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x₂，y₂），
∴直线PR的方程为y-y1=

y1-y2

x1+x2

(x-x1)，
令x=0，则y=

(y1-y2)•(-x1)

x1+x2

+y₁
=

x1y2+x2y1

x1+x2

=

x1(kx2-2)+x1(kx1-2)

x1+x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

-2
=

2k• 12 1+4k2

16k 1+4k2

-2
=-

1

2

．
∴存在y轴上定点B(0，-

1

2

)，
使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．

点评：本题主要考查直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力以及公析与解决问题能力；考查数形结合思想、函数与方程思想、转化思想．