Question

（2010•莆田模拟）已知函数f（x）=

1

3

x3-(a-1)x2+4ax，（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（2）若a＞1，且函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为

16

3

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数，通过导数为0，根据函数的极值点，求出a的值即可．
（2）通过导数为0，结合a的范围，与函数的单调性以及函数的最大值，推出

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，进而求出变量a的范围．

解答：解：f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
（1）因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，
所以f′（0）=4a=0，得a=0，
又当a=0时，f′（x）=x²-2x，所以当x＜0时 f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
综上当a=0时，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
（2）令f′（x）=0，得x₁=2，x₂=2a，因为a＞1，所以x₁＜x₂，
当x变化时，f（x）的值的变化情况如下：
注意到x∈[0，4]且f（2）=4a-

4

3

，f（4）=

16

3

．
因为f（x）在[0，4]上的最大值为

16

3

．
若2a≥4，即a≥2时，f（x）在[0，4]上的最大值为：f（2）=4a-

4

3

≥

20

3

＞

16

3

．不合题意．
所以

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，
即

1＜a＜2 4a- 4 3 ≤ 16 3

解得1＜a≤

5

3

．

点评：本题主要考查了函数的导数与函数单调性及函数的极值之间的关系的应用，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．函数与方程之间的相互转化的思想的应用．