题目内容

已知函数f（x）=x²-2x+log_a $数学公式$ 在（1， $数学公式$ ）内恒小于零，则实数a的取值范围是

A.
$数学公式$ ≤a＜1
B.
0＜a $数学公式$
C.
0 $数学公式$
D.
a≥ $数学公式$

A
分析：求出函数f（x）的定义域，f（x）在（1， $\text{[math]}$ ）内恒小于零等价于f（x）_max＜0，求出导数f′（x），分0＜a＜1，a＞1两种情况利用导数求出f（x）的最大值即可．
解答：f（x）=x²-2x+ $\text{[math]}$ ，
因为a＞0，且 $\text{[math]}$ ＞0，所以定义域：{x|x＞1}．
f'（x）=2x-2- $\text{[math]}$ ，
①当0＜a＜1时， $\text{[math]}$ ＜0，所以在x∈（1， $\text{[math]}$ ）时f'（x）＞0，函数f（x）在（1， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
要满足题意，须f（ $\text{[math]}$ ）≤0，即： $\text{[math]}$ -3+loga（2a）≤0，即：loga2≤- $\text{[math]}$ ，
解得：a $\text{[math]}$ ，又0＜a＜1，所以 $\text{[math]}$ ．
②当a＞1时，由f'（x）=0得：x=1+ $\text{[math]}$ ，
当x＜1+ $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，当x＞1+ $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，
由此得函数f（x）在x＜1+ $\text{[math]}$ 时是减函数，在x＞1++ $\text{[math]}$ 时是增函数，
而f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -3+loga（2a）=loga2+ $\text{[math]}$ ＞0，
所以a＞1时，不能保证在（1， $\text{[math]}$ ）内f（x）恒小于0，
故a＞1不合题意，舍去．
综上，所求实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查应用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用导数求出函数的最大值．