题目内容

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-l），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①
OC
=3
OG
（O为坐标原点）；②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；③
GM
∥
AB
．
（1）求顶点C的轨迹E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB面积的最大值．
（1）设C（x，y），
由①知，G为△ABC的重心，
∴G（
x
3
，
y
3
）
由②知M是△ABC的外心，∴M在x轴上．
由③知M（
x
3
，0），
由|
MA
|=|
MC|
得
(
x
3
)2+1
=
(x-
x
3
)2+y2

化简整理得：
x2
3
+y2=1（x≠0）；
（2）将y=x+t代入椭圆方程，可得4x2+6tx+3t2-3=0，
由△＞0，可得t2＜4
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则x1+x2=-
3
2
t，x1•x2=
3t2-3
4

∴SPAQB=
1
2
|AB||x1-x2|=
3
2
•
4-t2

∴t=0时，四边形PAQB面积的最大值为
3
．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①
GA
+
GB
+
GC
=
0
；②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；③
GM
∥
AB
．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．
在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点．
（1）求向量
A0A2
的坐标；
（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．
在直角坐标平面中，已知点P（0，1），Q（2，3），对平面上任意一点B0，记B1为B0关于P的对称点，B2为B1关于Q的对称点，B3为B2关于P的对称点，B4为B3关于Q的对称点，…，Bi为Bi-1关于P的对称点，Bi+1为Bi关于Q的对称点，Bi+2为Bi+1关于P的对称点（i≥1，i∈N）…．则
B0B10
=
（20，20）
（20，20）
．
（2013•宁波模拟）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：
（1）
GA
+
GB
+
GC
=
O

（2）|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|
（3）
GM
∥
AB

则△ABC的顶点C的轨迹方程为（　　）
（2005•金山区一模）在直角坐标平面中，若F1、F2为定点，P为动点，a＞0为常数，则“|PF1|+|PF2|=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的（　　）

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