Question

16．已知函数g（x）=ax-lnx，当x∈（0，e]时，函数g（x）有最小值为3，则a的值为e²．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，然后对a分类求得g（x）在（0，e]上的单调性，求出最小值，由最小值等于3求得a的值．

解答 解：由g（x）=ax-lnx，得
g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1，由ae-1=3，得a=$\frac{4}{e}$，（舍去）；
②当0＜$\frac{1}{a}$＜e时，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上单调递减，g（x）在（$\frac{1}{a}$，e]上单调递增，
∴$g（x）_{min}=g（\frac{1}{a}）$=1+lna，由1+lna=3，得a=e²，满足条件；
③当$\frac{1}{a}$≥e，即a$≤\frac{1}{e}$时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1，由ae-1=3，得a=$\frac{4}{e}$，（舍去）．
综上可知，当a=e²时，函数g（x）有最小值为3．
故答案为：e²．

点评 本题考查利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．