Question

设实数x，y满足x²+（y-1）²=1，若对满足条件的x，y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是

[

2

-1，+∞）

．

Answer 1

分析：x+y+c大于等于0，即要-c小于等于x+y恒成立，即-c小于等于x+y的最小值，由x与y满足的关系式为圆心为（0，1），半径为1的圆，可设x=cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域可得出x+y的最小值，即可得到实数c的取值范围．

解答：解：∵实数x，y满足x²+（y-1）²=1，
∴设x=cosα，y=1+sinα，
则x+y=cosα+1+sinα=

2

sin（α+

π

4

）+1，
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴

2

sin（α+

π

4

）+1的最小值为1-

2

，
根据题意得：-c≤1-

2

，即c≥

2

-1，
则实数c的取值范围是[

2

-1，+∞）．
故答案为：[

2

-1，+∞）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的参数方程，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立满足的条件，其中根据题意得出不等式x+y+c≥0恒成立即-c小于等于x+y的最小值，把问题转化为求x+y的最小值是解本题的关键．