Question

（2013•成都二模）若不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

当x∈（0，l）时恒成立，则实数m的最大值为（　　）

• A．9
• B．

  9

  2

• C．5
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：设f（x）=

1

2x

+

2

1-x

，根据形式将其化为f（x）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x=

1

3

时

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（

1

3

）=

9

2

，再由题中不等式恒成立可知m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
由此可得实数m的最大值．

解答：解：设f（x）=

1

2x

+

2

1-x

=

1 2

x

+

2

1-x

（0＜x＜1）
而

1 2

x

+

2

1-x

=[x+（1-x）]（

1 2

x

+

2

1-x

）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

∵x∈（0，l），得x＞0且1-x＞0
∴

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

≥2

1 2 (1-x) x × 2x 1-x

=2，
当且仅当

1 2 (1-x)

x

=

2x

1-x

=1，即x=

1

3

时

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值为2
∴f（x）=

1

2x

+

2

1-x

的最小值为f（

1

3

）=

9

2

而不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

当x∈（0，l）时恒成立，即m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
因此，可得实数m的最大值为

9

2

故选：B

点评：本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．