Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为{s_n}，若对任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，求实数λ取值范围；
（3）设，数列{x_n}的前n项和为T_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*，且n≥2，都有T_3n-T_n＞成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_2n，知，由a₁=1，知，由此能导出数列{b_n}的通项公式．
（2）由，知，S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，若对于任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，由此能求出λ的取值范围．
（3）由，知，令，则，所以f（n）是增函数，由此能导出整数m的最大值为18．
解答：解：（1）b_n=a_2n，
，
a₁=1，
∴，
∴{b_n}是首项和公比都为的等比数列，
故（5分）
（2），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，
若对于任意n∈N^*，
不等式λ≥1+S_n恒成立，
则λ≥2，
故λ的取值范围是[2，+∞）．（9分）
（3），
T_3n-T_n=，
令f（n）=，
则
，
f（n+1）＞f（n），
∴f（n）是增函数
当n≥2时，
，，
故m＜19，
整数m的最大值为18．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．