Question

14．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值为（　　）

• A． $-\frac{4}{3}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$）=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$²，
△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，
所以上式=$-\frac{1}{2}×{2}^{2}+0+0+\frac{1}{6}×{2}^{2}$=$-\frac{4}{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为0的性质．