题目内容

（1）求证：a2+b2+3≥ab+
3
(a+b)；
（2）a，b分别取何值时，上面不等式取等号．
分析：（1）先将a2+b2+3=
a2+b2
2
+
a2+3
2
+
b2+3
2
，然后每两项运用基本不等式即可证得．
（2）根据第一问，以及基本不等式成立的条件可知当a2=b2，a2=3，b2=3时取等号．
解答：解：（1）a2+b2+3=
a2+b2
2
+
a2+3
2
+
b2+3
2

≥ab+
3a2
+
3b2
≥ ab+
3
a+
3
b
（2）当且仅当
a=b
3
=a
3
=b
时，以上不等式取等号．
即a=b=
3
时不等式取等号
点评：本题主要考查了基本不等式，以及等号成立的条件，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点，且
A
B•
C
D=
B
C•
A
E．
（1）求证：a2，b2，c2成等差数列；
（2）求∠B及sinB+cosB的取值范围．
证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 
13
．
已知实数a、b、c满足ab+bc+ca=1，求证：a2+b2+c2≥1．
选修4-5：不等式选讲
已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
13
．
精英家教网本题有（1），（2），（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（1）选修4-2：矩阵与变换
如图所示：△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA1B1．
（i）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（ii）求逆矩阵M-1以及（M-1）20
（2）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
（θ为参数），曲线C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
（t为参数）
（i）若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C1和C2，求出曲线C1和C2的普通方程；
（ii）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0
（i）求证：a2+
b 2
4
+
c 2
9
≥
(a+b+c) 2
14

（ii）求实数m的取值范围．

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