Question

如下图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM=，AN=3，且BN=6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程.

Answer 1

解：以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，依题意知：曲线C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.

设曲线C的方程为y²=2px(p＞0)(x_a≤x≤x_b，y＞0)，其中x_a、x_b分别是A、B的横坐标，p=MN，所以M（-,0）,N(,0).

由AM=,AN=3得方程组

解之得或

因为△AMN是锐角三角形，所以＞x_a.故舍去

p所以p=4,x_a=1.

由点B在曲线C 上得x_b=BN-=4.

综上得曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4,y＞0).