题目内容

椭圆M： $数学公式$ 长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若 $数学公式$ • $数学公式$ =0且 $数学公式$ • $数学公式$ =0，则动点Q在下列哪种曲线上

A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线

B
分析：根据椭圆方程算出A（-a，0），B（A，0）．设P（m，n），Q（x，y），可得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于m、n、x、y的坐标形式，由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0建立关系式，化简得m+a=- $\text{[math]}$ ，同理由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0建立关系式，得m-a=- $\text{[math]}$ ，再将所得的两个式子对应相乘，结合点P（m，n）是椭圆 $\text{[math]}$ 上的点，化简得 $\text{[math]}$ ，即为动点Q的轨迹方程，可得本题答案．
解答：

解：设P（m，n），Q（x，y）
∵椭圆M的方程为 $\text{[math]}$ ，
∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（-a，0），B（A，0）
∴ $\text{[math]}$ =（x+a，y）， $\text{[math]}$ =（m+a，n）
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=- $\text{[math]}$ …①
同理根据 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，可得m-a=- $\text{[math]}$ …②
①×②，可得m²-a²= $\text{[math]}$ ．…③
∵点P（m，n）是椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，
∴ $\text{[math]}$ ，整理得n²= $\text{[math]}$ （a²-m²），
代入③可得：m²-a²= $\text{[math]}$ （a²-m²）• $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$
此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案
故选：B
点评：本题给出椭圆的长轴为AB，椭圆上的动点P满足若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，求动点Q的轨迹方程，着重考查了椭圆的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．