Question

函数f（x）=ax+

1

a

（1-x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，1]上的最大值为g（a），则函数g（a）的最小值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．0
• C．1
• D．2

Answer 1

分析：把函数变形为f（x））=（a-

1

a

）x+

1

a

，分三种情况：a＞1；a=1；0＜a＜1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g（a），据g（a）特征可求其最大值．

解答：解：f（x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）当a＞1时，a＞

1

a

，f（x）是增函数，
∴f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=

1

a

，∴g（a）=

1

a

；
（2）当a=1时，f（x）=1，∴g（a）=1；
（3）当0＜a＜1时，a-

1

a

＜0，f（x）是减函数，
f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=a，∴g（a）=a，
所以g（a）=

a，0＜a＜1 1，a=1 1 a ，a＞1

，
因此g（a）最小值为1，
故选C．

点评：本题考查分段函数最值的求法，考查分类讨论思想，属中档题．