Question

（2003•北京）已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（I）根据平方关系、二倍角、两角和的余弦公式化简解析式，再求出函数的周期；
（Ⅱ）根据余弦函数的最大值和最小值，求出此函数对应的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x= 2 cos(2x+ π 4 )

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由（I）知，f(x)=

2

cos(2x+

π

4

)，
当2x+

π

4

=2kπ（k∈z）时，cos(2x+

π

4

)=1，f（x）取到最大值为

2

，
当2x+

π

4

=π+2kπ（k∈z）时，cos(2x+

π

4

)=-1，f（x）取到最小值为-

2

．

点评：本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及余弦函数的性质等基本知识，考查运算能力，