Question

设函数f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=

2e

x

．（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x_o，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，又

2

x+ 1 x

≤1，
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px²-2x+p≤0恒成立，即p≤

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，又

2

x+ 1 x

＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）∵f′(x)=

px2-2x+p

x2

，，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=

e

x

，即（p-1）x²-（p-1）x-e=0
y=

2e

x

当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）²-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e
（3）因g（x）=

2e

x

在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减?f（x）^max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2?p＞

4e

e2-1

③当0＜p＜1时，因x-

1

x

≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤（x-

1

x

）-2lnx≤e-

1

e

-2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（

4e

e2-1

，+∞）