Question

设双曲线

y2

a2

-

x2

3

=1的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（I）求双曲线的渐近线方程；
（II）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）直接利用离心率为2以及b²=3求出a即可得双曲线的渐近线方程；
（II）先讨论得出直线斜率不存在时不适合题意，进而设直线l方程为y=k（x-1），联立直线方程与双曲线方程得P、Q两点的坐标与k之间的关系，再结合

OP

•

OQ

=0即可求出k的范围进而得出结论．

解答：解：（I）∵e=

a2+3

|a|

∴a²=1
∴双曲线渐近线方程为y=±

3 x

3

（Ⅱ）假设过点N（1，0）能作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，
且

OP

•

OQ

=0
若过点N（1，0）的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．
设直线l方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴

y=k(x-1)     ① y2- x 3 =1     ②

①代入②得：（3k²-1）x²-6k²x+3k²-3=0
∴

3k2-1≠0            ① △＞0                 ② x1+x2= 6k2 3k2-1   ③ x1•x2= 3k2-3 3k2-1    ④

∵

OP

•

OQ

=0
∴y₁y₂+x₁x₂=0
∴（k²+1）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0
∴

k2+3

3k2-1

=0
∴k²=-3不合题意．
∴不存在这样的直线．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．本题第二问的易错点在于忘记讨论直线斜率不存在的情况，从而得分不全．