Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，f（a）=0（a＞0），则不等式xf（x）＜0的解集是________．

Answer 1

（-a，0）∪（a，+∞）
分析：将原不等式转化为或，然后分类讨论：不难根据题意得出在[0，+∞）上原不等式的解集，再根据函数为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，利用对称点的方法得到（-∞，0）上原不等式的解集，最后取两部分的并集得到解集．
解答：等式xf（x）＜0等价于或
①当x＞0时，因为在[0，+∞）上是减函数且f（a）=0
所以当x＞a时，f（x）＜f（a）=0
∴x＞a符合不等式
②当x＜0时，-x＞0是一个正的自变量
由①知，当-x＞a时，f（-x）＜f（a）=0?x＜-a
∴-a＜x＜0符合不等式
综上所述，不等式xf（x）＜0的解集是（-a，0）∪（a，+∞）
故答案为：（-a，0）∪（a，+∞）
点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的综合、不等式的简单性质和解不等式等知识点，属于中档题．本题考查了用函数性质解题，而用函数性质解题是近几年来常见的考点，值得同学们注意．