Question

（08年长郡中学二模文）（13分）已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

     （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

Answer 1

解析：（I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即 解得a=1，b=0.∴f(x)=x³－3x.                     （4分）

（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

当－1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，          （6分）

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4                        （8分）

  （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x³－3x，

∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为，

整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根                    （10分）

设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1            （11分）

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3－2.

故所求的实数a的取值范围是－3－2.                           （13分）