Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，an+1=an+p•3n+1（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=

n2

an-n

，证明：bn≤

4

9

．

Answer 1

（Ⅰ）因为a₁=4，an+1=an+p•3n+1，
所以a2=a1+p•31+1=3p+5；a3=a2+p•32+1=12p+6．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，an+1=an+2•3n+1，
所以当n≥2时，a2-a1=2•31+1，a3-a2=2•32+1，
…an-1-an-2=2•3n-2+1，an-an-1=2•3n-1+1．
相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1，
所以an-a1=2

3(1-3n-1)

1-3

+(n-1)，
所以an=3n+n．
当n=1时，a1=31+1=4成立，
所以an=3n+n．                            
（Ⅱ）证明：因为an=3n+n，所以bn=

n2

(3n+n)-n

=

n2

3 n

．
因为bn+1-bn=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，则n＞

1+ 3

2

，即n≥2时，b_n+1＜b_n．
又因为b1=

1

3

，b2=

4

9

，所以bn≤

4

9

．