Question

已知函数f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的图象经过点A（0，1）、B（

π

2

，1）．当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）的图象．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数图象过点A（0，1）、B（

π

2

，1），
把两点坐标代入函数解析式得：

a+c=1① a+b=1②

，
①-②得：c-b=0，即b=c，
∴f(x)=a+bsinx+bcosx=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)，
∵当x∈[0，

π

2

]时，f(x)的最大值为2

2

-1，
∴

2

b+a=2

2

-1③，
联立②③，解得：

a=-1 b=2

，
则f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1；
（Ⅱ）分三步平移：
（i）由y=sinx图象上所有点向左平移

π

4

个单位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的图象；
（ii）由f(x)=sin(x+

π

4

)的图象上所有点的纵坐标变为原来的2

2

倍，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象；
（iii）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象上所有点向下平移一个单位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的图象．