Question

若实数x，y满足|x|≤1，|y|≤1，求证：|

x+y

1+xy

|≤1．

Answer 1

分析：要证原不等式成立，只需证明(

x+y

1+xy

)2≤1成立，即（x+y）²≤（1+xy）²，即（x²-1）（y²-1）≥0，
由|x|≤1，|y|≤1 可得（x²-1）（y²-1）≥0 成立，命题得证．

解答：证明：要证明|

x+y

1+xy

|≤1成立，只需证明(

x+y

1+xy

)2≤1成立，
即（x+y）²≤（1+xy）²，变形得（x²-1）（y²-1）≥0，
因为|x|≤1，|y|≤1，所以，x²≤1，y²≤1
所以（x²-1）（y²-1）≥0 成立，即原不等式成立．

点评：本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．