Question

设f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）法一：（导数法）f′(x)=

4x(x+1)-2x2

(x+1)2

=

2x2+4x

(x+1)2

≥0在x∈[0，1]上恒成立．
∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二：f(x)=

0          x=0 2 1 x + 1 x2 x∈(0，1]

，用复合函数求值域．
法三：f(x)=

2x2

x+1

=2(x+1)+

2

x+1

-4
用双勾函数求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由条件，只须[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴

5-2a≤0 5-a≥1

?

5

2

≤a≤4．