Question

已知{a_n}是等差数列，(b_n)是公比为q的等比数列，a₁＝b₁，a₂＝b₂≠a₁，记S_n为数列{b_n}的前n项和，

(1)若b_k＝a_m(m，k是大于2的正整数)，求证：S_k－1＝(m－1)a₁；

(2)若b₃＝a_i(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项；

(3)是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

Answer 1

答案：
解析：

设{an}的公差为d，由a1＝b1，a2＝b2≠a1，知d≠0，q≠1，d＝a1(q－1)(a1≠0) 　　(1)因为bk＝am，所以， 　　， 　　所以 　　(2)，由， 　　所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为 　　，设数列中的某一项＝ 　　现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以 　　，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为 　　与数列的第项相等，从而结论成立． 　　(3)设数列中有三项成等差数列，则有 　　2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列．