Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，D为BC中点，M在BB₁上，且BM=

1

3

B₁M，又CM⊥AC₁．
（1）求证：CM⊥C1D；
（2）求四面体B₁-ADC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，欲证MC⊥DC₁．可通过MC⊥面ADC₁，而得到，故通过先证AD⊥面BCC₁B₁，从而AD⊥MC利用线面垂直的判断定理可得到MC⊥面ADC₁即可；
（2）在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁利用三角形相似△DCC₁～△MBC，结合比例关系可求得h，从而所求AA₁=

2

a，最后利用锥体的体积公式即可求出四面体B₁-ADC₁的体积．

解答：解：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，
则AD⊥面BCC₁B₁，从而AD⊥MC             …（2分）
又∵CM⊥AC₁，则MC和平面ADC₁内两相交直线AD，AC₁均垂直，∴MC⊥面ADC₁，…（4分）
于是MC⊥DC₁．…（6分）
（2）在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁知△DCC₁～△MBC，
设BB₁=h，则BM=

1

4

h．∴

1

4

h：a=

a

2

：h，求得h=

2

a．
从而所求AA₁=

2

a．…（8分）
连接B1D，S△B1C1D=

1

2

•a•

2a

=

2

2

a2．
而AD⊥面B1C1D，AD=

3

2

a．…（10分）
VB1-ADC1=

1

3

•

2

2

a2•

3

2

a=

6

12

a3…（12分）

点评：本小题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．