Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=

1

2|x|

+2．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）设F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由指数函数的性质及|x|≥0，可求出g（x）的值域；
（2）化简F（x）的解析式，分x≥0与x＜0时，讨论F（x）的单调性，从而得F（x）在（-∞，+∞）上的单调区间．

解答：解：（1）∵g（x）=

1

2|x|

+2=（

1

2

）^|x|+2，
由|x|≥0，得0＜（

1

2

）^|x|≤1，
∴2＜(

1

2

)|x|+2≤3，即2＜g（x）≤3，
∴g（x）的值域是（2，3]．
（2）∵F（x）=f（x）+g（x）=

2x+ 1 2x +2， x≥0 2x+1+2，    x＜0

，
当x≥0时，2^x≥1，因为y=t+

1

t

+2在（1，+∞）上是增函数，
所以F（x）在（0，+∞）单调递增，
当x＜0时，F（x）在（-∞，0）上是增函数，
又F（x）在（-∞，+∞）上是连续的，
所以F（x）在（-∞，+∞）是增函数，单调增区间是（-∞，+∞）．

点评：本题考查了指数函数的单调性以及值域的问题，是基础题．