Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，,平面底面，为中点，M是棱PC上的点，．

（1）若点M是棱PC的中点，求证：平面；
（2）求证：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）3．

试题分析：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN，在三角形PAC中，利用中位线定理证明PA//MN，由线线平行得线面平行；（2）证PQ⊥AD，QB⊥AD，由PQ∩BQ=Q，所以AD⊥平面PBQ，再利用线面垂直得面面垂直；（3）先证PQ⊥面ABCD，（注意此步不可省略），再以Ｑ为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标及平面BQC的法向量，并设，利用关系PM=tMC，用坐标表示出来，列方程解出，并得，
，从而易得平面MBQ法向量为，再由数量积运算得，可得t值．
试题解析：证明：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．         1分
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC的中点，∴ MN // PA                             2分
∵ MN平面MQB，PA平面MQB，       3分
∴ PA // 平面MBQ．                    4分
（2）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．   6分
∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，        7分
∴BQ⊥平面PAD．                                    8分
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．                   9分
另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ， 
∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．           6分
∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．                          7分
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．                    8分
∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．                         9分
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．     10分
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；
，，，．   11分
设，
则，，∵，
∴ ，   ∴     ，         12分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．                13分
∵二面角M-BQ-C为30°， ，∴ ．  14分