Question

设曲线C₁：（a为正常数）与C₂：y²=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立方程，组成方程组，问题转化为方程x²+2a²x+2a²m-a²=0在x∈（-a，a）上有唯一解或等根，再讨论三种情况，可得实数m的取值范围；
（2）分类讨论，表示出△OAP的面积，比较两个面积的大小关系，即可求得结论．
解答：解：（1）由消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0．              ①
设f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，问题（1）转化为方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
1°△=0得m=，此时x_p=-a²，当且仅当-a＜-a²＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f（a）•f（-a）＜0当且仅当-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此时 x_p=a-2a²，当且仅当-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1时适合．
f（a）=0得m=-a，此时 x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，从而m≠-a．
综上可知，当0＜a＜1时，m=或-a＜m≤a；当a≥1时，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面积S=ay_p．
∵0＜a＜，∴-a＜m≤a时，，由唯一性得x_p=．
显然当m=a时，x_p取值最小．
由于x_p＞0，从而取值最大，此时y_p=2，∴S=a．
当m=时，x_p=-a²，y_p=，此时S=a．
下面比较a与a的大小：
令a=a，得a=．
故当0＜a≤时，，此时S_max=．
当＜a＜时，，此时S_max=a．…（20分）
点评：本题考查曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．